Menentukan Luas Daerah (bagian I)

Salah satu penggunaan integral adalah untuk menentukan Luas daerah oleh kurva. Ada beberapa kemungkinan daerah yang akan dicari luasnya, yaitu Luas Daerah diatas sumbu x, Luas Daerah dibawah sumbu x, dan Luas Daerah diantara dua kurva, selain itu Luas daerah juga dapat di hitung dengan menggunakan acuan sumbu y. Mari kita bahas satu persatu:

Luas daerah diatas sumbu x
Misalkan y = f(x) berharga positif pada daerah a ≤ x ≤ b dan kontinu pada daerah tersebut, maka luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b dapat kita ilustrasikan seperti gambar di bawah ini.


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah dibawah sumbu x
Bila y = f(x) berharga negatif pada daerah a ≤ x ≤ b maka luas daerah yang dibatasi oleh y = f(x) dengan sumbu x dari x = a ke x = b adalah seperti gambar berikut ini:


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:


Luas daerah di antara dua kurva
Sedangkan luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva, y = f(x) dan y = g(x) dengan f(x) ≥ g (x) , dan dibatasi oleh a ≤ x ≤ b adalah


Luas daerah yang diarsir pada Gambar diatas adalah sebagai berikut:



Contoh 1 :
Tentukanlah luas dari daerah yang dibatasi oleh y = 2x + 3, sumbu x, dan ordinat-ordinat x = 1 dan x = 4.

Penyelesaian.
y = 2x + 3 merupakan suatu garis lurus seperti pada gambar dibawah ini:

Dengan integrasi, luas daerah yang diarsir

Soal diatas juga dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Trapesium (masih ingat rumusnya kan??)
Luas trapesium
=1/2(jumlah sisi sejajar).(tinggi)

= 1/2(5+11)(3)

= 24 satuan luas


contoh 2:
Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik y = x2 + 2x dengan sumbu x

penyelesaian:










Persentil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti halnya pada pengertian kuartil dan desil, persentil adalah nilai-nilai yang membagi susunan data menjadi 100 bagian yang sama banyaknya.
1) Persentil untuk data tunggal
Letak persentil dirumuskan dengan:


Keterangan: Pi = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5, tentukan persentil ke-30 dan persentil ke-75.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak persentil ke-30 di urutan data ke- 3(10 +1)/100 = 33/100 = 3,3.
P30 = x3 + 0,3 (x4 – x3) = 5 + 0,3 (6 – 5) = 5,3
Jadi, P30 = 5,3.
Letak persentil ke-75 di urutan data ke- 75(10 +1)/100 = 8,25.
P75 = x8 + 0,25 (x9 – x8) = 9 + 0,25 (10 – 9) = 9,25
Jadi, P75 = 9,25.

2) Persentil untuk data bergolong
persentil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:
Dari data di atas tentukan:
a. persentil ke-25
b. persentil ke-60

Penyelesaian:

a. Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:


b. Letak P60 = ⋅ (60/100). 40 = 24, yaitu data ke-24 dan kelas P60 = 56 – 60 sehingga diperoleh:


Latihan soal:
  1. Tentukan P1, P14, dan P70 dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
  2. Hitunglah P5, P20, dan P50 dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
  3. Carilah P8 dan P34 dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
  4. Tentukan P11 dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
  5. Tentukan P21 dan P62 dari data berikut ini.

Desil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Jika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, maka desil akan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D1), desil ke-2 (D2), desil ke-3 (D3) dan seterusnya sampai D9.

1) Desil untuk data tunggal
Nilai D1, D2, D3, dan seterusnya ditentukan oleh letaknya, dengan rumus:

Keterangan:
Di = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan desil ke-1 dan desil ke-4.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak desil ke-1 diurutan data ke-1/10 (10 + 1)=11/10=1,1
D1 terletak pada urutan ke-1,1 sehingga: D1 = x1 + 0,1 (x2 – x1).
Jadi D1 = 5 + 0,1 (5 – 4) = 5 + 0,1 = 5,1.
Letak desil ke-4 diurutan data ke-4/10 (10 + 1)=44/10=4,4
D4 terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D4 = x4 + 0,4 (x5 – x4).
Jadi D4 = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4


2) Desil untuk Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data bergolong dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh:

Dari data di atas tentukan:
a. desil ke-2
b. desil ke-9
Penyelesaian:

a. Letak D2 = (2/10).40 =8, yaitu pada data ke-8 dan kelas D2 = 50 – 59 sehingga diperoleh:

b. Letak D9 = (9/10).40 = 36, yaitu data ke-36 dan kelas D9 = 80 – 89 sehingga diperoleh:



Latihan soal:
  1. Tentukan D1, dan D6 dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
  2. Hitunglah D4 dan D7 dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
  3. Carilah D1, D3, dan D9, dari data berikut.
    10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
  4. Tentukan D1, D2, dan D5 dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
  5. Tentukan D1 dan D7 dari data berikut ini.

Quartil dari Data Tunggal dan Data Kelompok

Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak, sedangkan kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
xmin = data terkecil
xmaks = data terbesar
Q1 = kuartil ke-1
Q2 = kuartil ke-2
Q3 = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal
Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.


Contoh 1
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Penyelesaian:
Data yang telah diurutkan: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Banyak data dari contoh di atas adalah 11. Kuartil ditentukan dengan:
Nilai Q1 = data ke-1/4(11 + 1)= data ke-3 = 6
Nilai Q2 = data ke-2/4(11 + 1) = data ke-6 = 7
Nilai Q3 = data ke-3/4(11 + 1) = data ke-9 = 8
Sehingga nilai Q1 = 6, Q2 = 7, dan Q3 = 8.

Contoh 2
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12.
Penyelesaian
Data yang telah diurutkan: 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12.
Letak Q1 adalah: 1/4(14 + 1) = 15/4 =3,75 sehingga:
Q1 = x3 + 3/4 (x4 – x3) = 4 +0,75 (4 – 4) = 4
Letak Q2 adalah: 2/4(14 + 1) = 15/2 = 7,5 sehingga:
Q2 = x7 + 0,5 (x7 – x6) = 7 + 0,5 (7 – 7) = 7
Letak Q3 adalah: 3/4 (14 + 1) = 11,25 sehingga:
Q3 = x11 + 0,25(x12 – x11) = 8 + 0,25 (9 – 8) = 8,25.
Jadi Q1 = 4, Q2 = 7, Q3 = 8,25.

2) Kuartil data berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh 3:
Tentukan Q1 (kuartil bawah), Q2 (median), dan Q3 (kuartil atas) dari data tes
Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

Letak Q1 pada frekuensi = 1/4 .(40) = 10, di kelas 60 – 69.

Letak Q2 pada frekuensi = 1/2 .(40) = 20, di kelas 60 – 69.

Letak Q3 pada frekuensi = 3/4 ⋅ (40) = 30, di kelas 70 – 79.




Latihan soal:
  1. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data: 4, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 10.
  2. Hitunglah Q1 dan Q3 dari data berikut. 10, 13, 9, 14, 17, 9, 21, 19, 19, 22, 35, 23, 25, 35, 47, 33, 25, 39, 43, 29
  3. Carilah Q1, Q2, dan Q3 dari data: 16, 17, 17, 18, 9, 20, 21, 22, 24, 26
  4. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data: 2, 5, 4, 6, 3, 4, 8, 4, 9, 12, 6, 3, 11, 7, 2
  5. Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data berikut ini.


Ukuran Letak pada Statistika

Selain ukuran pemusatan data (yang telah kita bahas pada postingan sebelumnya), ada juga yang disebut ukuran letak. Adapun ukuran letak ini meliputi: kuartil (Q), desil (D), dan persentil (P).

A. Quartil (Q)
Seperti yang sudah dibahas sebelumnya, bahwa median membagi data yang telah diurutkan menjadi dua bagian yang sama banyak, sedangkan kuartil membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak.

Keterangan:
xmin = data terkecil
xmaks = data terbesar
Q1 = kuartil ke-1
Q2 = kuartil ke-2
Q3 = kuartil ke-3

1) Kuartil data tunggal
Untuk mencari kuartil data tunggal telah dibahas pada sub bab statistik lima
serangkai. Pada sub bab ini akan diberikan rumus yang lebih mudah jika data
yang disajikan lebih banyak.
Letak dari Qi dirumuskan sebagai berikut.


Contoh soal
Tentukan Q1, Q2, dan Q3 dari data : 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10.
Penyelesaian:
Data yang telah diurutkan: 3, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10
Banyak data dari contoh di atas adalah 11. Kuartil ditentukan dengan:
Nilai Q1 = data ke-1/4(11 + 1)= data ke-3 = 6
Nilai Q2 = data ke-2/4(11 + 1) = data ke-6 = 7
Nilai Q3 = data ke-3/4(11 + 1) = data ke-9 = 8
Sehingga nilai Q1 = 6, Q2 = 7, dan Q3 = 8.

2) Kuartil data berkelompok
Menentukan letak kuartil untuk data bergolong, caranya sama dengan data tunggal.
Nilai kuartil dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Qi = kuartil ke-i (1, 2, atau 3)
bi = tepi bawah kelas kuartil ke-i
N = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
l = lebar kelas
f = frekuensi kelas kuartil

Contoh :
Tentukan Q1 (kuartil bawah) dari data tes Matematika terhadap 40 siswa kelas XI IPA berikut ini.

Penyelesaian

Letak Q1 pada frekuensi = 1/4 .(40) = 10, di kelas 60 – 69.

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan detailnya di sini.

3) Jangkauan interkuartil dan semi interkuartil
a) Jangkauan adalah selisih antara nilai terbesar dan nilai terkecil, dilambangkan dengan J.
J = xmaks – xmin

b) Jangkauan interkuartil (H) adalah selisih antara kuartil ketiga dan kuartil pertama:
H = Q3 – Q1

c) Jangkauan semi interkuartil (Qd) atau simpangan kuartil dirumuskan:
Qd = 1/2 (Q3 – Q1)

d) Langkah (L) adalah satu setengah dari nilai jangkauan interkuartil:


B. Desil
1) Desil untuk data tunggal
Jika median membagi data menjadi dua bagian dan kuartil membagi data menjadi empat bagian yang sama, maka desil akan membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak.

Dengan demikian nilai-nilai dari desil yaitu desil ke-1 (D1), desil ke-2 (D2), desil ke-3 (D3) dan seterusnya sampai D9.
Sehingga penentuan nilai D1, D2, D3, dan seterusnya ditentukan oleh letaknya, dengan rumus:

Keterangan:
Di = desil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 9
n = banyaknya data

Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh
Diketahui data: 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan: desil ke-4.
Penyelesaian
Data diurutkan: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
Letak desil ke-4 diurutan data ke-4/10 (10 + 1)=44/10=4,4
D4 terletak pada urutan ke-4,4 sehingga: D4 = x4 + 0,4 (x5 – x4).
Jadi D4 = 6 + 0,4 (7 – 6) = 6 + 0,4 = 6,4


2) Desil untuk Data Berkelompok
Nilai desil ke-i dari data berkelompok dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
D = desil ke-i
n = banyak data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil
f = frekuensi kelas desil
b = tepi bawah kelas
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.

Dari data di atas tentukan desil ke-2
Penyelesaian:

Letak D2 = (2/10).40 =8, yaitu pada data ke-8 dan kelas D2 = 50 – 59 sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan lengkapnya di sini.

C. Presentil
1) Persentil untuk data tunggal
Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu disebut persentil.
Letak persentil dirumuskan dengan:

Keterangan: Pi = persentil ke-i
i = 1, 2, 3, . . ., 99
n = banyaknya data

2) Persentil untuk data berkelompok
persentil ke-i dari data ber kelompok dirumuskan sebagai berikut.

Keterangan:
Pi = persentil ke-i
b = tepi bawah
n = banyaknya data
F = frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil
f = frekuensi kelas persentil
l = lebar kelas

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Dari data di atas tentukan persentil ke-25

Penyelesaian:

Letak P25 = ⋅ (25/100). 40 = 10, yaitu data ke-10 dan kelas P25 = 51 – 55 sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, klik pembahasan detailnya di sini.